Publikacja w serwisie

Bookmark and Share

12364  odsłona

Ida Gawron: Interesuj±ce liczby

Ida Gawron

Interesujące liczby

Spis treści:

1.     Aby matematyka była lubianym przedmiotem.

2.     Liczby olbrzymy.

3.     Przykłady zadań z wykorzystaniem wielkich liczb.

4.     Liczby pierwsze i ciekawostki z nimi związane.

5.     Kilka ciekawych zadań.

6.     Ludolfina, historia liczby p, przybliżenia dziesiętne, wierszopsy.

 

 

1. Aby matematyka była lubianym przedmiotem

Głównym zadaniem każdego nauczyciela jest sprawić, aby dzieci  nigdy nie straciły przyjemności bycia z matematyką, by matematyka zawsze była przedmiotem interesującym, a nie nudnym i znienawidzonym. Każdy cykl swych wykładów należałoby rozpoczynać od namalowania żywymi barwami obrazu korzyści, jakie może przynieść opanowanie danego zagadnienia, przedmiotu. Na każdym szczeblu warto by się odwoływać do ciekawości uczniów lub do ich zainteresowań, tak aby pokonanie tego szczebla było w ich oczach warte zachodu.

Dzieci chcą dowiadywać się różnych rzeczy, chcą robić różne rzeczy. Nauczyciel nie musi wcale „stwarzać” w nich zainteresowań; zainteresowania te już w nich są, czekają tylko na jakieś ujście. Potrzeba jedynie podtrzymywać je i kierować nimi.

Aż nazbyt często, niestety, procesowi nauczania zdaje się przyświecać pogląd, jakoby ludzie dorośli byli skazani na zajmowanie się nudnymi rzeczami, a dzieci powinny jak najwcześniej przyzwyczajać się do wykonywania nudnych prac. W rezultacie rodzi się najzupełniej usprawiedliwiona nienawiść i wzgarda dla wszelkiego rodzaju nauki i życia umysłowego.

Jeśli chcemy zapamiętać jakiś przedmiot i znajdować w nim przyjemność, musimy znaleźć jakiś sposób powiązania go z tym, czym interesujemy się naprawdę. Małe jest prawdopodobieństwo, że znajdziemy coś atrakcyjnego w podręcznikach matematyki. Jeżeli będziemy czytać wyłącznie podręczniki, dojdziemy do wniosku, że przedmiot jest nieciekawy. Jeżeli więc chcemy nauczyć dzieci miłości do liczb, zacznijmy od spraw dotyczących tematu – mówiących o sprawach rzeczywistości, o życiu; z zagadnień, które jakoś nawiązują do danego przedmiotu, pokazują, jak zrodziła się potrzeba tego przedmiotu. W miarę, gdy nasi uczniowie dorosną, ich wiedz będzie wzrastała, zaczną ich irytować popularne wstępy, zaczną szukać pełnych odpowiedzi na interesujące ich pytania, fachowego podejścia do problemu.

Myślę, ze warto nauczać matematyki z uwzględnieniem jej praktycznych zastosowań i przejawów jej obecności w codziennym życiu. Warto próbować dobierać treść zadań szkolnych tak, by miały formę interesującą dla uczniów. Chodzi o to, by przekazywana wiedza nie była sucha, a – przeciwnie – kojarzyła się z konkretnymi sytuacjami i przez to zaciekawiała, zachęcała do samodzielnego myślenia i własnych poszukiwań. Matematyka bowiem może stać się hobby, podobnie jak zbieranie znaczków pocztowych, czy jazda na nartach.

do początku

2. Liczby olbrzymy

Zadanie – legenda

Pewien bogaty wschodni władca niezmiernie się nudził. Wszelkie przygotowywane przez dworzan rozrywki znał już na wylot. Ogłosił więc, że każdy, kto zdoła go rozbawić i zainteresować, otrzyma wspaniałą nagrodę. Wielu śmiałków próbowało ją zdobyć, ale bezskutecznie. Aż wreszcie na dworze pojawił się ubogi mędrzec z dziwną, pokratkowaną deską pod pachą i zaproponował królowi nową grę – my znamy ją jako szachy. Gra wciągnęła władcę i przerwała pasmo nudy. Król postanowił więc wspaniale nagrodzić mędrca. Poprosił go, by zażądał, czego chce. Mędrzec rzekł: „Cóż, królu. Wystarczy jeśli na pierwszym polu szachownicy położysz jedno ziarenko pszenicy, na drugim polu dwa, na trzecim cztery, potem osiem...i tak dalej aż do końca szachownicy. Oczywiście, jeśli Cię na to stać.” Król uznał tę odpowiedź za obraźliwą, więc rozkazał dworzanom, aby dali mędrcowi, czego żąda i wyrzucili go z pałacu. Dworzanom jednak nie udało się spełnić tej prośby. Dlaczego?

Odpowiedź:

Najłatwiej obliczyć łączną liczbę ziarenek, zapisując w tabelce liczbę ziarenek na kolejnych polach. Na podstawie kilku przykładów możemy odkryć wzór ogólny.

 Numer pola

Liczba ziarenek na polu

Liczba ziarenek na tym polu i wszystkich poprzednich

1

1 = 20

1 = 2 – 1 = 21 -1

2

2 = 21

3 = 4 – 1 = 22 - 1

3

4 = 22

7 = 8 – 1 = 23 - 1

4

8 = 23

15 =16 – 1 = 24 - 1

5

16 = 24

31 = 32 – 1 = 25 - 1

...

...

...

n

2n-1

2n - 1

...

...

...

64

263

264 - 1

 

Możemy obliczyć, że 264 = 24 * (210 ) 6 = 16 * 10246 . To w przybliżeniu 16 * 10006 = 1018 ziaren.

Zakładając, że w kilogramie jest 80 000 ziaren, otrzymujemy wynik:

16 * 1018 ziaren , to 2 * 1014 kg = 2 * 1011 ton

TIR ma ładowność 25 ton, więc ta masa to około 8 000 000 000 (8 miliardów) tirów....

To sto tysięcy razy więcej tirów niż .... ziarenek w kilogramie ryżu!!!  

Gdyby każdy człowiek na świecie, od noworodka do staruszka, został kierowcą, to i tak nie wystarczyłoby kierowców dla tylu ciężarówek.

 

Ludzie próbują opisać za pomocą liczb zjawiska i rzeczy znajdujące się we wszechświecie. Do tego celu muszą używać zarówno liczb ogromnych, jak i niewyobrażalnie małych.

 

Oto kilka liczb opisujących  „niezbyt” duże obiekty we wszechświecie:

Masa Księżyca 73 480 000 000 000 000 000 000 kg

Masa Ziemi 5 974 000 000 000 000 000 000 000 kg

Masa Słońca 1 998 910 000 000 000 000 000 000 000 000 kg

 

Do opisywania bardzo dużych oraz niewyobrażalnie małych obiektów, używa się specjalnych oznaczeń i nazw dla liczb, które są potęgami dziesięciu.

Oznaczenie

Nazwa naukowa

Ile to jest

Nazwa potoczna

 

 

1060

decylion

 

 

1054

nonilion

 

 

1048

oktylion

 

 

1042

septylion

 

 

1036

sekstylion

 

 

1030

kwintylion

 

 

1024

kwadrylion

E

eksa

1018

trylion

P

peta

1015

biliard

T

tetra

1012

bilion

G

giga

109

miliard

M

mega

106

milion

k

kilo

103

tysiąc

h

hekto

102

sto

da

deka

10

dziesięć

 

  do początku

3. Przykłady zadań z wykorzystaniem wielkich liczb

Zad. 1.

Ile czasu zajęłaby Ci podróż samochodem (gdyby była możliwa) na najbliższą i najbardziej oddaloną od Ziemi planetę Układu Słonecznego, gdy odległość tych planet od Ziemi jest najmniejsza?

Odpowiedź:

Planeta najbliższa : Wenus.

Odległość około 41 mln km.

Załóżmy, że prędkość podróży wynosi 100 km/h

41*106 : 102 = 41 * 104 godzin, czyli około 1,7*104 dni, czyli mniej niż 3*17 ? 50 lat

(dokładniej: 47 lat)

Planeta najdalszaPluton.

Odległość około 5,8 mnl km.

5,8*109 :102 = 5,8*107 godzin, czyli około 7 000 lat.

 

Zad 2.

Gdybyśmy chcieli ofiarować komuś Ziemię w prezencie i postanowili obwiązać ją wzdłuż równika wstęgą z kolorowego papieru toaletowego, to ile rolek musielibyśmy zakupić?

Odpowiedź:

Rolka zawiera220 listków po 12 cm, czyli jej długość wynosi w przybliżeniu 2,5*103 cm.

Obwód równika 40 000 km, czyli 4*104 km =4*107 m =4*109 cm

(4*109 ):(2,5*103 )=(40*108 ) :(2,5*103 )=(40:2,5)*105 =1,6*106 rolek,

czyli 200 tysięcy paczek po 8 szt.

 

Zad. 3.

Gdybyśmy całą powierzchnię Polski chcieli pokryć kartkami papieru formatuA4, to ile ryz musielibyśmy wcześniej kupić i jak wysoko sięgałby papier przeznaczony do tej operacji, gdyby udało nam się ułożyć wszystkie ryzy jedna na drugiej?

Odpowiedź:

Kartka ma wymiary 21cm X 29,7 cm, a więc jej powierzchnia wynosi około 600 cm2 , czyli 6*10-8 km2.  

Potrzebujemy więc (3*105 km2 ): (6*10-8 ) = 5*1012 sztuk

Ryza papieru zawiera 500 kartek, zużyjemy więc 1010 (czyli 10 miliardów ) ryz. Grubość ryzy wynosi 5 cm, a więc gdyby ułożyć je jedna na drugiej, otrzymalibyśmy słup o wysokości 5*1010 cm = 5*105 km (pół miliona kilometrów). To 12 razy więcej niż obwód równika i prawie dwukrotnie więcej niż odległość od Ziemi do Księżyca.

 

Zad. 4.

Jedno z dawnych wyobrażeń świata pokazywało Ziemię jako płaską tarczę, trzymaną na grzbietach przez słonie. Zakładając, że słoń może unieść połowę tego, co waży, oszacuj, ile słoni byłoby potrzebnych do takiej operacji.

Odpowiedź:

Masa Ziemi to około 6*1024 kg. Słoń waży około 6 ton, załóżmy więc, że może dźwigać 3t. Potrzeba więc(6*1024 ) : (3*103 ) ≈ 2*1021 słoni. Oj, chyba większości z nich nie udałoby się nawet dopchać do kuli ziemskiej...

Sprawdźmy:Załóżmy, że słoń potrzebuje zaledwie 3 m2 . Nasze stado zajęłoby wówczas 6*1021 m2 czyli 6*1015 km2 . Kwadrat o takiej powierzchni ma bok długości około 8*107 km, czyli jest prawie 1000 razy dłuższy od obwodu równika.

Wiemy już teraz na pewno, że ta wizja świata musiała być błędna. Oczywiście w czasie, gdy w to wierzono, nie znano ani masy, ani wymiarów Ziemi.

 

Propozycje ćwiczeń z wielkimi liczbami

1.     Czy byłbyś zadowolony z życzeń 3,136 Gs (gigasekund) życia ?

2.     Ile kilometrów przechodzisz do szkoły i z powrotem w ciągu 6 lat?

3.     Ile ważą wszyscy ludzie na świecie? A wszystkie słonie?

4.     Ile to jest: 100 min, 1 000 min, 1 000 000 min, ...

5.     Ile sekund już przeżyłeś?

6.     Ile słów wypowiadasz w ciągu miesiąca?

7.     Czego jest tysiąc , sto tysięcy, milion, itp.?(Zabawa w liczbowych detektywów).

8.     Ile ziaren ryżu jest w kilogramie?

  • „strzelanie” i zapisanie odgadniętych wyników
  • ustalenie metody obliczeń, np. odliczamy 1000 ziarenek i ważymy (mierzymy objętość) lub odważamy kilka gramów i liczymy.

  do początku

 

 

4. Liczby pierwsze i ciekawostki z nimi związane

A oto kilka ciekawostek dotyczących liczb pierwszych:

 

l     Są liczby pierwsze złożone z samych jedynek, np.: 23-cyfrowa

11111111111111111111111.

l     Są i złożone z kolejnych cyfr: 23, 67, 89, 4567, 56789, 456789, 23456789, 1234567891, 1234567891234567891234567891.

l     Liczba zestawiona z 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby Π jest liczbą pierwszą: 31415926535897932384626433832795028841.

l     Liczba 73939133 jest nie tylko liczbą pierwszą, ale liczby otrzymane przez kolejne „obcinanie” od prawej też są pierwsze: 7393913, 739391, 73939, 7393, 739, 73, 7.

l     Ciekawymi liczbami pierwszymi są też:

188888881

199999991

722222227

111181111

222291111

777767777

123484321

987646789

727272727

919191919

72020207

 

  do początku

 

5. Kilka ciekawych zadań: 

 Zad. 1

Przyjrzyj się wpisanym niżej liczbom:

                    3² =9

                  33² = 1089

          333² = 110889

        3333² = 11108889

      33333² = 1111088889

 

A teraz oblicz sam: 333333² = ?

 

Zad. 2

Znajdź następną linijkę zgodnie z ukrytą regułą:

2

12

1112

3112

132112

1113122112

311311222112

????????????????

 

 

Zad. 3

Gdzie umieściłbyś liczbę 15, żeby zachować przyjętą zasadę - nad czy pod kreską?

 

1                   6        8

_____________________________________

 

  2   3   4   5       7           9   10   11  12  13  14 

 

Odp.: Pod kreską. Liczby nad kreską zapisane słownie, mają po 5 liter.

 

 

 

Zad. 4

Rozwiń podane skróty. Na przykład: 2 p. z W. = Dwaj panowie z Werony

Ale musisz być przygotowany na wszystko!

1 z. w. , w. z. 1

c. 2 g. t. n. 1

3 p. 3

4 p. r.

5. k. u w.

g. k. 6 , t. n. m. c. j.

z. 7 g. , z. 7 r.

8 c. ś.

n. w 5, n. w 9

5. p. 10.

12.a.

 

Odp.: Jeden za wszystkich, wszyscy za jednego.

         Co dwie głowy, to nie jedna.

         Trzy po trzy.

         Cztery pory roku.

Piąte koło u wozu.

Gdzie kucharek sześć, tam nie ma co jeść.

         Za siedmioma górami, za siedmioma rzekami.

         Ósmy cud świata.

         Ni w pięć, ni w dziewięć.

         Piąte przez dziesiąte.

Dwunastu apostołów.

 

 

  do początku


6. LUDOLFINA

Najsłynniejsza liczba niewymierna.

Określa stosunek długości okręgu koła do długości jego średnicy:

Π= 3,14159...

 

1.     Historia liczby.

2.     Przebieg postępu w odkrywaniu kolejnych cyfr po przecinku rozwinięcia dziesiętnego.

3.     Postęp w obliczeniach kolejnych cyfr rozwinięcia liczby Π za pomocą maszyn cyfrowych.

4.     Wierszyki i powiedzenia związane z ludolfiną.

5.     Ciekawostka.

6.     Rozwinięcie dziesiętne liczby z dokładnością do 50 cyfr po przecinku.

 

 

 1. Historia liczby

Symbol p został pierwszy raz użyty w 1706 roku przez matematyka angielskiego Wiliama Jonesa. W powszechne użycie wszedł dopiero w połowie XVIII wieku po wydaniu Analizy L.Eulera . Najważniejszą w historii liczby p prawdziwie przełomową datą był rok 1882, w którym matematyk niemiecki F. Lindemann wykazał ostatecznie, że liczba p jest liczbą przestępną(tzn., że nie może ona być pierwiastkiem równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych). Wykazał on w ten sposób nierozwiązalność słynnego w starożytności zagadnienia kwadratury koła. Nazwa “ludolfina” pochodzi od imienia matematyka holenderskiego Ludolfa van Ceulena, który w 1610 roku obliczył wartość liczby p z dokładnością do 35 cyfr po przecinku. Interesująca jest historia tej liczby. Oto najważniejsze jej oszacowania:

  • Babilończycy (około 2000 p.n.e.):

Π =3

  • Egipcjanie (ok. 2000 p.n.e.):

    

  • Archimedes (III w.p.n.e) - matematyk i fizyk grecki:

  • Klaudiusz Ptolomeusz (II w.n.e.) - matematyk grecki:

  • Alchwarizmi (rok 830) - uczony arabski:

  • Bhâskara (XII w.) - słynny matematyk hinduski:

  • Piotr Metius (rok 1585) - matematyk i astronom hoplenderski:

( z dokładnością 6 cyfr po przecinku)

  • François Viete (XVI w.) - matematyk francuski:

  • John Wallis (rok 1656) - matematyk i teolog angielski:

  • Leonard Euler - matematyk, fizyk i astronom szwajcarski:

(ułamek łańcuchowy)

  • Gotfried Wilhelm Leibniz (rok 1673) - matematyk i filozof niemiecki:

Ludolfina | do początku

2. Przebieg postępu w odkrywaniu kolejnych cyfr po przecinku rozwinięcia dziesiętnego

 

Liczba Π przechodziła wiele przemian i odmian. Od ustalonej przez Archimedesa wartości 22/7, która dawała dwa rzędy dziesiętne po przecinku, dochodzi do rozwinięcia dziesiętnego z 707 cyframi po przecinku, danego przez Shanksa. Poniższa tabela wskazuje przebieg tego postępu, z pominięciem jednak drobnych zmian od roku 250 przed naszą erą do roku 1464 naszej ery.

 

Rok

Nazwisko matematyka

Liczba ustalonych znaków dziesiętnych

250 p.n.e.

Archimedes

2

 

Regiomontanus

3

1464

 

 

_ _ _

astronomowie

hinduscy

3

1580

J. Rhaeticus

8

1585

Piotr Metius

6

1579

Vi?te

11

1596

Ludolf Van Ceulen

20

1597

Adrian Romanus

16

1615

Ludolf Van Ceulen

32

1621

Snellius

35

1705

Abr.Sharp

72

1706

Machin

100

1719

De Lagny

127

1789

Vega

143

1841

Ruthefort

208

1844

Dahse

205

1847

Clausen

250

1853

Shanks

318

1853

Ruthefort

440

1853

Shanks

530

1853

Shanks

607

1853

Richter

333

1854

Richter

400

1855

Richter

500

1873

Shanks

707

Ludolfina | do początku

3. Postęp w obliczeniach kolejnych cyfr rozwinięcia liczby Π za pomocą maszyn cyfrowych.

 

 

Rok

Typ maszyny

Ilość cyfr rozwinięcia

G. Reitwiesner

1949

ENIAC

2037

S. C. Nicholson

1954-55

NORC

3089

J. Jeenal

1958

IBM 704

10 000

F. Genuys

1959

IBM 704

16 167

Daniel Shanks

i J. Wrench

1961

IBM 7090

100 265

J. Gilloud i A. Fillatore

1966

STRETCH

250 000

J. Gilloud i M. Dichamp

1967

CDC 6600

500 000

J. Gilloud i M. Bouyer

1974

?

1 000 000

Ludolfina | do początku

4. Wierszyki i powiedzenia związane z ludolfiną

 

Pewien Grek zebrał w internecie wierszyki (a także niewierszowane teksty) z różnych krajów i w różnych językach , w których wystarczy policzyć litery poszczególnych słów, aby otrzymać kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby Π

Podaję adres: http://www.atlantis.fe.up.pt/ftpmaint/engl/pi2.html.

 

Polskę reprezentuje kilka wierszy:

  • Kazimierz Cwojdziński (pisownia wiersza dawna)

Kuć i orać w dzień zawzięcie,
bo plonów niema bez trudu.
Złocisty szczęścia okręcie kołyszesz...
Kuć. My nie czekajmy cudu.
Robota. To potęga ludu.

  • Marta Jucewicz

Jaś o kole z werwą dyskutuje,
bo dobrze temat ten czuje.
Zastąpił ludolfinę słowami wierszyka.
Czy ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika?

  • Inwokacja Witolda Rybczyńskiego do Mnemozyny, bogini pamięci (zamiast słowa zdania należy wstawić problemu, a myślnik oznacza cyfrę zero).

Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie ludolfiną, pamięci przekazaćtak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć, gdy się zadania nie da inaczej rozwiązać, pauza- to zastąpić liczbami.

  • Polska trawestacja wiersza rosyjskiego

Kto z woli i myśli zapragnie
Pi spisać cyfry, ten zdoła...

  • Malwina Skrzyniarz - uczennica kl. VIII SP w Bielanach, laureatka "Konkursu dla wierszoPIsów" czasopisma Matematyka w szkole. (fragment)

Ty? Czy postradałeś zmysły?
Trzeba, abyś znalazł srebrzysty,
jedyny pył tęsknoty tego,
Irku - kolego!
Samotności wyglądasz?
Słowa - szyby przeglądasz?
(...)
Radość i zadowolenie mnie otula...
Śnię!
Jak we wtorki wiosna miła
Przybywa tu i tak, takwspaniale jak
zechce, rozbudziła
Jeszcze te paczki eleganckie, co dają
Szczęście i mają
(...)

  • Wiersz Wisławy Szymborskiej pt. "Liczba Pi"

Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,
pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem
osiem dziewięć obliczeniem
siedem dziewięć wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem
cztery sześć do czekogokolwiek
dwa sześć cztery trzy na świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa
podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzętość i bezdenność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście
mój numer telefonu twój numer koszuli
rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro
ilośc mieszkańców sześcdziesiąt pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a piej
oraz uprasza się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem,
nieostatnie siedem,
przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność
do trwania.

Ludolfina | do początku

5. Ciekawostka

Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby Π jest pierwsza.

 

6. Rozwinięcie dziesiętne liczby Π

z dokładnością do 50 cyfr po przecinku:

3,14159265358979323846264338327950288419716939937510...

Ludolfina


Publikacja umieszczona w Serwisie Publikacji Nauczycieli ODA, rok szk. 2002/2003

 
 

Serwis ODA - Strona główna > Pełny katalog publikacji  |   Strona autora/ów  |

Zamknij okno

góra

Serwis jest prowadzony przez Wydawnictwo „e media”