Publikacja w serwisie

Bookmark and Share

19632  odsłona

Niedziesiątkowe systemy liczenia

Niedziesiątkowe systemy liczenia

 

         Do napisania i zajęcia się tym bardzo starym i powszechnym tematem skłoniła mnie sytuacja, która ma często miejsce na zajęciach matematyki w szkole podstawowej, gimnazjum a nawet szkole średniej. Otóż w kontakcie ucznia z pisaniem, czytaniem liczb wiąże się problem ich zaszeregowania do odpowiedniego systemu, większość uczniów nie wie lub nie zastanawia się skąd pochodzi nazwa systemu dziesiątkowego, dwójkowego.

W tej pracy postaram się uczniom przybliżyć historię, zasady funkcjonowania i wykonywania działań na liczbach w różnych systemach.

 

Pojęcie  i historia systemów

 

Przez system liczbowy rozumiemy sposób zapisywania i nazywania liczb. Rozróżniamy pozycyjne systemy liczbowe i addytywne systemy liczbowe.

W pozycyjnych systemach liczbowych liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość poszczególnych znaków cyfrowych zależy od ich położenia (pozycji) względem sąsiednich znaków cyfrowych. Przykładami takiego systemu są m.in. dziesiątkowy system liczbowy, dwójkowy system liczbowy.

W addytywnych systemach liczbowych wartość przedstawionej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Na addytywnym systemie zapisu opierają się systemy liczbowe: hieroglificzny, rzymski, alfabetyczny.

         Zanim system dziesiątkowy stał się systemem powszechnym, różne narody i plemiona posługiwały się innymi systemami. Na przykład system dwójkowy spotykano u niektórych plemion Australii i Polinezji. Układ piątkowy zaś u indiańskiego plemienia Szoszonów w Ameryce Południowej. Natomiast Majowie w I w. p.n.e. używali układu dwudziestkowego. Pozostałości niektórych systemów spotykamy do dnia dzisiejszego np. zastosowanie systemu dwunastkowego znajdujemy w podziale  roku na 12 miesięcy. W handlu przetrwała jednostka tuzin. W miarach czasu i kąta zachował się częściowo system sześćdziesiątkowy, pochodzący od Babilończyków.

        

 

System dwójkowy jest powszechnie stosowany w maszynach cyfrowych dzięki następującym własnościom:

o      cyfry 0 i 1 łatwo jest realizować technicznie przez procesy fizyczne, w których wyróżnia się tylko  dwa stany: jeden z nich reprezentuje 0, drugi 1; np. w elektronicznej maszynie cyfrowej element półprzewodnikowy może znajdować się w jednym z dwóch stanów- przewodzi prą elektryczny (cyfra 1) lub nie przewodzi (cyfra 0).

o      algorytmy działań w tym systemie są prostsze niż w innych systemach liczbowych

o      cyfry 0, 1 mogą być interpretowane jako wartości logiczne zdań

 

Aby uniknąć nieporozumień przyjęto następujące zapisy liczb w innych układach pozycyjnych niż dziesiątkowy, np. :

w dwójkowym              (101)2 lub 101(2)

w czwórkowym            (3210)4  lub  3210(4)

 

Liczbę np. 110(2) czytamy „jeden-jeden-zero w systemie dwójkowym” a nie „sto dziesięć”.

 

 

Przykłady budowy systemów liczenia

 

1.    System dziesiątkowy:

 

ˇ       do zapisywania każdej liczby wystarczy 10 cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

ˇ       jednostka każdego następnego rzędu licząc od końca jest dziesięć razy większa od rzędu poprzedniego

 

2.    System dwójkowy:

 

ˇ       do zapisywania każdej liczby wystarczają dwie cyfry (0,1)

ˇ       jednostka każdego następnego rzędu jest dwa razy większa od jednostki rzędu poprzedniego

 

 

 

 

 

3.    System ósemkowy:

ˇ       dowolne liczby zapisujemy za pomącą nie więcej niż ośmiu cyfr (0,1,2,3,4,5,6,7)

ˇ       jednostka każdego następnego rzędu jest 8 razy większa od jednostki poprzedniego rzędu

Każdą liczbę naturalną można przedstawić w dowolnym systemie wg schematu:

 

system

dziesiąt-kowy

rząd, pozycja

0

1

2

3

4

5

jednostka rzędu

1

100

10

101

100

102

1000

103

10000

104

100000

105

system

dwójkowy

rząd, pozycja

0

1

2

3

4

5

jednostka rzędu

1

20

2

21

4

22

8

23

16

24

32

25

system trójkowy

rząd, pozycja

0

1

2

3

4

5

jednostka rzędu

1

30

3

31

9

32

27

33

81

34

243

35

system

piątkowy

rząd, pozycja

0

1

2

3

4

5

jednostka rzędu

1

50

5

51

25

52

125

53

625

54

3125

55

 

A więc każda liczba naturalna  m może być zapisana w postaci:

m=cnqn+cn-1qn-1+...+c2q2+c1q+c0,  nÎNÈ í0ý

gdzie liczby c0, c1,... , cn są równe 0,1, ... , q-1 oraz cn¹0.

 

Jeśli np. chcemy zapisać liczbę 53 w systemie dwójkowym, możemy ją zapisać w postaci sumy, której składniki są potęgami liczby 2 ( od największej do najmniejszej)

 

53= 32+21=32+16+5=32+16+4+1=

1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=110101(2)

 

 

 

 

Chcąc zapisać liczby w systemach pozycyjnych o podstawie większej niż dziesięć należy dysponować większą ilością cyfr. Np. w systemie szesnastkowym bierzemy pierwszych 10 cyfr zgodnych z systemem dziesiątkowym, zaś dalsze to:

A oznacza 10 w syst. dziesiątkowym

B         „     11              „

C         „     12              „

D         „     13               „

E           „    14               „

F           „    15               „

 

A więc liczba (D4)16 oznacza 212 w systemie dziesiątkowym.

 

Działania w systemach innych niż dziesiątkowy

 

1.    System dwójkowy- jeśli przy dodawaniu otrzymujemy dwie jednostki rzędu niższego, zapisujemy je jako jedną jednostkę rzędu następnego, np.

 

 101(2)

                                                                  +   11(2)

_____________

1000(2)

 

2.    System trójkowy- jeśli w wyniku dodawania otrzymujemy w jakimś rzędzie trzy jednostki, stanowią one wtedy jedną jednostkę rzędu następnego, np.

 

   1201(3)

                                                                  +   212(3)

_____________

   2120(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

Odejmowanie w innych systemach wykonuje się analogicznie jak w systemie dziesiątkowym, np.

 

  1201(3)

                                                                  -   212(3)

_____________

    212(3)

 

Ponieważ w odjemnej jest mniej jedności niż w odjemniku „rozmieniamy” jedną jednostkę rzędu 2 (dziewiątkę) na 3 jednostki rzędu poprzedniego (pierwszego), zostawiając w tym rzędzie 2 jednostki, a jedną „rozmieniamy” na 3 jedności, otrzymujemy 4 jedności. Odejmujemy jedności 4-2=2, następnie cyfry rzędu pierwszego 2-1=1 itd.

 

Obliczając iloczyny i ilorazy liczb naturalnych w systemach niedziesiątkowych korzystamy z tabel mnożenia .

 

Tabelka w systemie dwójkowym:

 

x

0

1

0

0

0

1

0

1

 

Tabelka w systemie trójkowym:

 

x

0

1

2

0

0

0

0

1

0

1

2

2

0

2

11

 

 

Tabelka mnożenia w systemie piątkowym:

 

 

x

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

2

0

2

4

11

13

3

0

3

11

14

22

4

0

4

13

22

31

 

 

Mnożąc liczby sposobem pisemnym, korzystamy z tablic mnożenia, np.

 

     212(3)

x      22(3)

________

1201

                                                                  + 1201

______________

    20211(3)

Do wykonania dzielenia sposobem pisemnym wystarcza znajomość tabeli mnożenia, gdy dzielnik nie przekracza podstawy systemu liczenia.

 

Zamiana systemu liczenia

 

Jest kilka sposobów przedstawiania liczby w innym systemie niż jest obecnie:

 

ˇ       jeżeli mamy liczbę np. w systemie czwórkowym i chcemy przedstawić ją w systemie piątkowym, zapisujemy tę liczbę najpierw w systemie dziesiątkowym, a potem z systemu dziesiątkowego przechodzimy na piątkowy wg wcześniej opisanej metody

ˇ       wykonując operację innym sposobem można wykonać prościej: chcąc przejść z  podaną liczbą z systemu dziewiątkowego na trójkowy , należy każdą cyfrę liczby zapisać jako liczbę dwucyfrową w układzie trójkowym:

 

 

1

0

2

3

8

4

(9)

1

00

02

10

22

11

(3)

 

 

Czyli:

                102384(9) = 10002102211(3)

 

Mam nadzieję, że przybliżyłem Ci pojęcie, nazwę i sposoby pisania liczb w różnych systemach. Korzystając głównie z systemu dziesiątkowego warto pamiętać też o innych systemach.

 

 

 

 

 

 

 

 

Publikację opracował :

Zenon Szubarczyk- nauczyciel

 Publicznego Gimnazjum Nr 3

w Białej Podlaskiej

 


Publikacja umieszczona w Serwisie Publikacji Nauczycieli ODA, rok szk. 2002/2003

 
 

Serwis ODA - Strona główna > Pełny katalog publikacji  |   Strona autora/ów  |

Zamknij okno

góra

Serwis jest prowadzony przez Wydawnictwo „e media”